Задача 54843

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D.
Найдите угол ABC, если известно, что  AE = 1,  BD = 3.

Подсказка

Пусть O – центр окружности. Рассмотрите подобные треугольники BDO и OEA.

Решение

  Пусть O – центр окружности, x – её радиус. Тогда  OD = OE = x,  OD ⊥ BC  и OE ⊥ AC.  Прямоугольные треугольники BDO и OEA подобны, поэтому
BD : DO = OE : AE,  или  3 : x = x : 1,  откуда  x = .  Значит,  tg∠B = ^DO/_BD = .
  Следовательно,  ∠B = 30°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2789