Задача 54846

Тема:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах AD и BC трапеции ABCD взяты точки P и Q соответственно, причём AP:PD = 3:2 . Отрезок PQ разбивает трапецию на части, одна из которых по площади вдвое больше другой. Найдите отношение CQ:QB , если AB:CD = 3:2 .

Решение

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке K . Треугольник KDC подобен треугольнику KAB с коэффициентом = , значит, = . Положим KD=2x , AK=3x . Тогда AD=x , а т.к. AP:PD = 3:2 , то

PD = AD=x, KP=KD+PD=2x+x= x.
Предположим, что площадь четырёхугольника PDCQ вдвое больше площади четырёхугольника APQB . Обозначим S_{Δ KDC}=S . Тогда
S_{Δ KAB}=()2S_{Δ KDC}= S, S_ABCD=S-S=S,

S_PDCQ=S_ABCD=· S= S, S_{Δ KPD}=S+S=S, = =,
а т.к.
= · = · = · =,
то = . Тогда точка Q лежит на продолжении стороны BC за точку B , т.к. = > .
Пусть теперь площадь четырёхугольника PDCQ вдвое меньше площади четырёхугольника APQB . Тогда
S_PDCQ=S_ABCD=· S= S, S_{Δ KPD}=S+S=S, = =,
а т.к.
= · = · = · =,
то = . Тогда точка Q лежит на стороне BC , т.к. = < , причём
= == .

Ответ

23:13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2792