Информация о задаче

Задача 54847

Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса R вписан четырёхугольник ABCD, P — точка пересечения его диагоналей, AB = CD = 5, AD > BC. Высота, опущенная из точки B на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна ${\frac{25}{2}}$ . Найдите стороны AD, BC и радиус окружности R.

Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — равнобедренная трапеция. Обозначьте её основания через x и y. Воспользуйтесь подобием треугольников ADP и CBP.

Решение

Докажем, что AD || BC. Предположим, что это не так. Через вершину B проведем прямую, параллельную AD, до пересечения с окружностью в точке C₁. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому равны и соответствующие хорды. Значит,

DC₁ = AB = DC,

а т.к. точки B, C и C₁ лежат по одну сторну от прямой AD, то точка C₁ совпадает с точкой C. Следовательно, AD || BC. Поэтому четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция или прямоугольник.

Пусть BK — перпендикуляр к AD. Поскольку BK < AB, то ABCD — равнобедренная трапеция, а AD и BC — её основания.

Обозначим BC = x, AD = y. Тогда

AK = $\displaystyle {\frac{AD-BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{y-x}{2}}$ , $\displaystyle \sqrt{AB^{2} - BK^{2}}$ .

Треугольник ADP подобен треугольнику CBP с коэффициентом ${\frac{AD}{BC}}$ = ${\frac{y}{x}}$ . Поэтому высота PQ треугольника ADP равна

$\displaystyle {\frac{y}{x+y}}$ ^.BK = $\displaystyle {\frac{3y}{x+y}}$ ,

значит, площадь этого треугольника равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.PQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{3y^{2}}{x+y}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{2}}$ .

Решив систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} \frac{y-x}{2} = 4\\ \frac{1}{2}\cdot \frac{3y^{2}}{x+y} = \frac{25}{2},\\ \end{array} }\right.$

находим, что y = 10, x = 2 или y = ${\frac{20}{3}}$ и x = – ${\frac{4}{3}}$ . Ясно, что условию задачи удовлетворяет только первое решение.

Далее находим:

DK = AD - AK = 6, BD = $\displaystyle \sqrt{BK^{2} + DK^{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{5}$ , sin $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle {\frac{BK}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ,

R = $\displaystyle {\frac{BD}{2\sin \angle BAD}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot \frac{3}{5}}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{5}}{2}}$ .

Ответ

AD = 10, BC = 2; R = ${\frac{5\sqrt{5}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2793