Информация о задаче

Задача 54849

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол равен $\alpha$ . Найдите длину биссектрисы, проведённой из вершины прямого угла.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

Пусть CD — биссектриса прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C, AB = c, $\angle$ A = $\alpha$ . Тогда

AC = AB cos $\displaystyle \angle$ A = c cos $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle \angle$ ABC + $\displaystyle \angle$ BCD = 90^o - $\displaystyle \alpha$ + 45^o = 135^o - $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{CD}{\sin \angle A}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle ADC}}$ ,

откуда находим, что

CD = $\displaystyle {\frac{AC \sin \angle A}{\sin \angle ADC}}$ = $\displaystyle {\frac{c\cos \alpha \sin \alpha}{\sin (135^{\circ } - \alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin 2\alpha}{2\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}}$ .

Ответ

${\frac{c\sin 2\alpha}{2\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2795