Информация о задаче

Задача 54850

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Трапеция ABCD ( BC || AD) вписана в окружность. Известно, что BC = a, AD = b, $\angle$ CAD = $\alpha$ . Найдите радиус окружности.

Подсказка

Окружность, описанная около трапеции ABCD, является также описанной окружностью треугольника ACD. Для нахождения её радиуса воспользуйтесь обобщённой теоремой синусов.

Решение

Предположим, что a < b. Пусть K — проекция вершины C на основание AD трапеции ABCD. Тогда

DK = $\displaystyle {\frac{AD-BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{b-a}{2}}$ , AK = $\displaystyle {\frac{AD+BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{b+a}{2}}$ ,

CK = AKtg $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle {\frac{b+a}{2}}$ ^.tg $\displaystyle \alpha$ ,

CD = $\displaystyle \sqrt{DK^{2} + CK^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{b + a}{2}\cdot {\rm tg }\alpha \right)^{2}}$ .

Окружность, описанная около трапеции ABCD, является также описанной окружностью треугольника ACD. Пусть R — её радиус. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{CD}{2\sin \angle CAD}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{(b - a)^{2} + (b + a)^{2}\cdot {\rm tg }^{2}\alpha}}{4\sin \alpha}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{(b - a)^{2} + (b + a)^{2}{\rm tg }^{2}\alpha }}{4\sin \alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2796