Информация о задаче

Задача 54851

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC известно, что BC = a, AC = b, $\angle$ ACB = $\alpha$ . Найдите высоту CD и угол $\angle$ ABC.

Подсказка

Примените теоремы синусов и косинусов.

Решение

По теореме косинусов

AB = $\displaystyle \sqrt{BC^{2} + AC^{2} - 2BC\cdot AC\cos \angle ACB}$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab\cos \alpha}$ .

Запишем двумя способами площадь треугольника ABC:

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AC sin $\displaystyle \angle$ ACB.

Отсюда находим, что

CD = $\displaystyle {\frac{BC\cdot AC\sin \angle ACB}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{ab\sin \alpha}{\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \alpha}}}$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle ABC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin \angle ACB}}$ ,

откуда

sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\frac{AC\sin \angle ACB}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b\sin \alpha}{\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab\cos \alpha}}}$ .

Ответ

CD = ${\frac{ab\sin \alpha}{\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab\cos \alpha}}}$ ;

$\displaystyle \angle$ ABC = arcsin $\displaystyle {\frac{b\sin \alpha}{\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab\cos \alpha}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2797