Задача 54863

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вершины B, C, D четырёхугольника ABCD расположены на окружности с центром O. Эта окружность пересекает сторону AD в точке E, а сторону AB – в точке F. Известно, что хорды BF, FE и ED равны, а также равны между собой хорды BC и CD. Найдите угол OBC, если известно, что угол DAB прямой.

Решение

Картинка симметрична относительно прямой AC. Поэтому  ∠BFE = ^3π/₄,  а  ∠FBE = ∠FEB = ^3π/₂ – ^3π/₈ = ^π/₈.  Следовательно,
∠BOF = ∠DOE = ∠EOF = ^π/₄,  ∠BOC = ∠COD = ½ (2π – ^3π/₄) = ^5π/₈,  а  ∠OBC = ½ (^π/₂ – ^5π/₁₆) = ^3π/₁₆.

Ответ

^3π/₁₆.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2809