Задача 54865

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD относятся как 1:4 , а угол между ними равен 60^o . Чему равен больший из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD , если меньший равен ?

Решение

Пусть K , L , M и N — середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD данного четырёхгольника ABCD . Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC с общей стороной AC , поэтому KL=MN и KL || MN , значит, четырёхугольник KLMN — параллелограмм. Его соседние стороны соответственно параллельны диагоналям данного четырёхугольника, значит, острый угол параллелограмма равен 60^o . Кроме того, т.к. KL=AC и LM=BD , то == .
Предположим, что KM<LN . Тогда KM= , а т.к. в параллелограмме меньшая диагональ лежит против меньшей стороны, то KLM = 60^o .
Положим KL=x , LM = 4x . По теореме косинусов

KM2=KL2+LM2-2KL· LM cos 60^o,
или 26=x2+16x2-4x2 , откуда находим, что x2=2 . Следовательно,
LM== =

== ==.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2811