Задача 54880

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27 , CD = 28 , основание BC = 5 и cos BCD = - . Найдите диагональ AC .

Решение

Поскольку cos BCD = - < 0 , угол BCD — тупой, поэтому угол ADC — острый и cos ADC = . Опустим перпендикуляр CH на основание AD . Тогда

DH = CD cos ADC = 28· = 8,

CH = CD sin ADC = 28 = 12.
Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB , до пересечения с прямой AD в точке P . Тогда
PH = = = = 3.
Если точка P лежит между A и H (рис.1), то
AH = AP + PH = 5+3 = 8.
В этом случае
AC = = = 28.
Если точка P лежит между D и H (рис.2), то
AH = AP - PH = 5 - 3 = 2.
В этом случае
AC = = = 2.

Ответ

28 , 2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2826