Информация о задаче

Задача 54909

Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь равнобедренной трапеции равна $\sqrt{3}$ . Угол между диагональю и основанием на 20^o больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если её диагональ равна 2.

Подсказка

Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме.

Решение

Пусть AD — большее основание равнобедренной трапеции ABCD. Тогда угол BAD — острый. Если CH — высота трапеции, то

DH = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ , AH = AD - DH = AD - $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ ,

поэтому

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ ^.CH = AH^.CH = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Обозначим $\angle$ BAC = $\alpha$ . Тогда $\angle$ CAH = $\alpha$ + 20^o. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH = AC cos $\displaystyle \angle$ CAH = 2 cos( $\displaystyle \alpha$ + 20^o),

CH = AC sin $\displaystyle \angle$ CAH = 2 sin( $\displaystyle \alpha$ + 20^o),

поэтому

AH^.CH = 2 cos( $\displaystyle \alpha$ + 20^o)^.2 sin( $\displaystyle \alpha$ + 20^o) = 2 sin(2 $\displaystyle \alpha$ + 40^o) = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Значит, 2 $\alpha$ + 40^o = 60^o или 2 $\alpha$ + 40^o = 120^o. Отсюда находим, что $\alpha$ = 10^o или $\alpha$ = 40^o, а $\angle$ BAD = 2 $\alpha$ + 20^o = 40^o или $\angle$ BAD = 100^o. Поскольку угол BAD — острый, подходит только 40^o.

Если AD — меньшее основание, то аналогично находим, что $\angle$ ABC = 80^o.

Ответ

40^o или 80^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2853