Задача 54912

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что  ∠MKN = 90°.  (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A).

Подсказка

Примените центральную симметрию.

Решение

  При симметрии относительно точки K точка C переходит в точку D, а точка M – в некоторую точку M ₁, причём отрезки DM₁ и CM равны и параллельны. Значит,  BM = CM = DM₁,  BN = DN.  Обозначим  ∠CDM₁ = α,  ∠CDN = β.  Тогда  ∠ACM = α,  ∠ABM = 180° – α,  ∠ABN = 180° – β,
∠MBN = 360° – (180° – α) – (180° – β) = α + β = ∠NDM₁.
  Значит, треугольники MBN и M₁DN равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  NM = NM₁.  В равнобедренном треугольнике MNM₁ медиана NK является высотой, следовательно,  ∠MKN = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2856