Информация о задаче

Задача 54917

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности с центрами O₁ и O₂ имеют общую хорду AB, $\angle$ AO₁B = 60^o. Отношение длины первой окружности к длине второй равно $\sqrt{2}$ . Найдите угол AO₂B.

Подсказка

Выразите через радиус меньшей окружности стороны треугольника AO₂B.

Решение

Пусть R и r — радиусы окружностей с центрами O₁ и O₂ соответственно. По условию

$\displaystyle {\frac{2\pi R}{2\pi r}}$ = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поэтому R = r $\sqrt{2}$ . Треугольник AO₁B — равносторонний, поэтому

AB = O₁A = R = r $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Боковые стороны равнобедренного треугольника AO₂B равны r, а основание AB = r $\sqrt{2}$ . Тогда

O₂A² + O₂B² = r² + r² = 2r² = AB².

Следовательно, треугольник AO₂B — прямоугольный и $\angle$ AO₂B = 90^o.

Ответ

90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2861