Информация о задаче

Задача 54921

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Касательная к окружности (K — точка касания) параллельна хорде LM. Известно, что LM = 6, KM = 5. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой.

Решение

Пусть точка B лежит на данной касательной, причём точки B и L расположены по разные сторны от прямой KM. По теореме об угле между касательной и хордой

$\displaystyle \angle$ KLM = $\displaystyle \angle$ BKM = $\displaystyle \angle$ KML,

поэтому треугольник KLM — равнобедренный. Если KA — его высота, то

MA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ML = 3, AK = $\displaystyle \sqrt{KM^{2} - AM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25 - 9}$ = 4,

sin $\displaystyle \angle$ KML = $\displaystyle {\frac{AK}{KM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Пусть R — радиус окружности. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{KL}{2 \sin \angle KML}}$ = $\displaystyle {\frac{KM}{2\sin \angle KML}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{2\cdot \frac{4}{5}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{8}}$ .

Ответ

${\frac{25}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2865