Информация о задаче

Задача 54925

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 3, AC = 3 $\sqrt{7}$ , $\angle$ ABC = 60^o. Биссектриса угла ABC продолжена до пересечения в точке D с окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите BD.

Подсказка

Найдите AD, CD и BC. Выразив по теореме косинусов отрезок BD из треугольников BAD и BCD, получите уравнение относительно cos $\angle$ BAD.

Решение

Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2 \sin \angle ABC}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle \sqrt{21}$ ,

CD = AD = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABD = 2R sin 30^o = R = $\displaystyle \sqrt{21}$ .

Обозначим BC = x. По теореме косинусов

AC² = AB² + BC² - 2AB^.BC cos 60^o,

63 = 9 + x² - 3x, x² - 3x - 54 = 0,

откуда BC = x = 9.

Обозначим $\angle$ BAD = $\alpha$ . Тогда $\angle$ BCD = 180^o - $\alpha$ . Выражая по теореме косинусов отрезок BD из треугольников BAD и BCD, получим уравнение

9 + 21 - 6 $\displaystyle \sqrt{21}$ cos $\displaystyle \alpha$ = 81 + 21 + 18 $\displaystyle \sqrt{21}$ cos $\displaystyle \alpha$ ,

откуда cos $\alpha$ = - ${\frac{3}{\sqrt{21}}}$ . Следовательно,

BD² = AB² + AD² - 2AB^.AD cos $\displaystyle \alpha$ = 9 + 21 + 2^.3^. $\displaystyle \sqrt{21}$ ^. $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{21}}}$ =

= 30 + 18 = 48, BD = $\displaystyle \sqrt{48}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

4 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2869