Информация о задаче

Задача 54926

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведённой к гипотенузе.

Подсказка

Вычислите указанную высоту, радиус вписанной окружности, расстояние от центра окружности до вершины прямого угла.

Решение

Первый способ.

Пусть r — радиус окружности с центром O, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 48 и BC = 36, CH — высота треугольника ABC, M и K — точки касания окружности со сторонами AB и AC соответственно, P — проекция центра O на CH. Тогда

AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

OM = OK = r = $\displaystyle {\frac{AC + BC - AB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

CH = AC^. $\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = 48^. $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$ ,

CP = CH - PH = CH - OM = CH - r = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$ - 12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{84}{5}}$ ,

OC = $\displaystyle {\frac{OK}{\sin \angle OCK}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sin 45^{\circ}}}$ = r $\displaystyle \sqrt{2}$ = 12 $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

Следовательно,

OP = $\displaystyle \sqrt{OC^{2} - CP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(12\sqrt{2})^{2} - \left(\frac{84}{5}\right)^{2}}$ = 12 $\displaystyle \sqrt{2 - \frac{49}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ .

Второй способ.

AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

OM = OK = r = $\displaystyle {\frac{AC + BC - AB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

BH = $\displaystyle {\frac{BC^{2}}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{36^{2}}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$ ,

BM = BK = BC - CK = BC - r = 36 - 12 = 24,

OP = MH = BM - BH = 24 - $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ .

Ответ

${\frac{12}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2870