Задача 54930

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В угол с вершиной A , равный 60^o , вписана окружность с центром O . К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C . Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , если AM:MO = 2:3 и BC = 7 .

Решение

Пусть R — радиус данной окружности, P и Q — её точки касания с прямыми BC и AB соответственно, AH — высота треугольника ABC , r — радиус вписанной в треугольник ABC окружности, p — полупериметр треугольника ABC . Тогда

p=AQ = OQ ctg OAQ = R ctg 30^o= R.
Из подобия прямоугольных треугольников AHM и OPM следует, что = = , поэтому AH=OP = R . Тогда
S_{Δ ABC}=BC· AH = · 7 · R=R.
С другой стороны,
S_{Δ ABC}=pr = R· r =Rr.
Из равенства R =Rr находим, что r= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2874