Информация о задаче

Задача 54934

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В тупоугольном треугольнике наибольшая сторона равна 4, а наименьшая — 2. Может ли площадь треугольника быть больше 2 $\sqrt{3}$ ?

Подсказка

Выразите большую сторону треугольника по теореме косинусов.

Решение

Пусть в треугольнике ABC угол B — тупой, AB = 2, AC = 4. Обозначим BC = x. По теореме косинусов

AC² = AB² + BC² - 2AB^.BC cos $\displaystyle \angle$ B, или 16 = 4 + x² - 4x cos $\displaystyle \angle$ B,

откуда x² - 12 = 4x cos $\angle$ B < 0, поэтому x² < 12, x < 2 $\sqrt{3}$ .

Если S — площадь треугольника, то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC sin $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^.x sin $\displaystyle \angle$ B = x sin $\displaystyle \angle$ B < 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^.1 = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2878