Информация о задаче

Задача 54951

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки M и N принадлежат соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC или их продолжениям. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ .

Подсказка

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Решение

Первый способ.

Поскольку высоты треугольников AMC и ABC, проведённые из общей вершины C, совпадают, то

S_AMC = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ ^.S_ABC.

Аналогично находим, что

S_AMN = $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ ^.S_AMC.

Поэтому

S_AMN = $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ ^.S_AMC = $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ ^.S_ABC.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ .

Второй способ.

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC^.sin $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC^.sin $\displaystyle \alpha$ ,

S_AMN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AM^.AN^.sin $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.AN^.sin $\displaystyle \alpha$ ,

где $\alpha$ либо равен углу $\angle$ BAC, либо дополняет его до 180^o. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}AM\cdot AN\cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2}AB\cdot AC \cdot \sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3007