Информация о задаче

Задача 54952

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Подсказка

Примените формулу: S = ${\frac{1}{2}}$ ab sin $\alpha$ .

Решение

Пусть a и b — стороны треугольника с площадью S, а a₁ и b₁ -- соответствующие им стороны подобного треугольника с площадью S₁; $\alpha$ — угол между a и b (а значит, и между a₁ и b₁).

Если k — коэффициент подобия, то

a₁ = ka, b₁ = kb.

Следовательно,

S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a₁b₁sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ka^.kb sin $\displaystyle \alpha$ = k^{2 .} $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \alpha$ = k²S.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3008