Информация о задаче

Задача 54963

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Площадь параллелограмма	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Подсказка

Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллеллограмм.

Решение

Первый способ.

Пусть d₁ и d₂ — диагонали данного четырёхугольника, $\alpha$ — угол между ними. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллелограмм со сторонами ${\frac{1}{2}}$ d₁ и ${\frac{1}{2}}$ d₂ и углом $\alpha$ между ними. Его площадь равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ d₁^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ d₂sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \alpha}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ d₁d₂sin $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \alpha}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S.

Второй способ.

Пусть S — площадь данного четырёхугольника ABCD, s — площадь четырёхугольника, вершины которого — середины K, L, M и N сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Поскольку KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC, то

S_KBL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC, S_MDN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ADC.

Поэтому

S_KBL + S_MDN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S_ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (S_ABC + S_ADC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S.

Аналогично

S_KAN + S_MCL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S.

Следовательно,

s = S - S_KBL - S_MDN - S_KAN - S_MCL = S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S.

Ответ

${\frac{1}{2}}$ S.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3019