ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54971
Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.


Подсказка

Коэффициент подобия указанных треугольников равен $ {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$.


Решение

Пусть K — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD и S$\scriptstyle \Delta$BKC = S1, S$\scriptstyle \Delta$AKD = S2. Из подобия треугольников BKC и DKA следует, что

$\displaystyle {\frac{CK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$,

поэтому

S$\scriptstyle \Delta$ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ . S1.

Аналогично

S$\scriptstyle \Delta$DKC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ . S1.

Следовательно,

SABCD = S1 + S2 + 2S1 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ = ($\displaystyle \sqrt{S}$1 + $\displaystyle \sqrt{S}$2)2.

Пусть K — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD и S$\scriptstyle \Delta$BKC = S1, S$\scriptstyle \Delta$AKD = S2. Из подобия треугольников BKC и DKA следует, что

$\displaystyle {\frac{CK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$,

поэтому

S$\scriptstyle \Delta$ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ . S1.

Аналогично

S$\scriptstyle \Delta$DKC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ . S1.

Следовательно,

SABCD = S1 + S2 + 2S1 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ = ($\displaystyle \sqrt{S}$1 + $\displaystyle \sqrt{S}$2)2.

Пусть K — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD и S$\scriptstyle \Delta$BKC = S1, S$\scriptstyle \Delta$AKD = S2. Из подобия треугольников BKC и DKA следует, что

$\displaystyle {\frac{CK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$,

поэтому

S$\scriptstyle \Delta$ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ . S1.

Аналогично

S$\scriptstyle \Delta$DKC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ . S1.

Следовательно,

SABCD = S1 + S2 + 2S1 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ = ($\displaystyle \sqrt{S}$1 + $\displaystyle \sqrt{S}$2)2.


Ответ

($ \sqrt{S}$1 + $ \sqrt{S}$2)2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3027
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .