Информация о задаче

Задача 54971

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S₁ и S₂. Найдите площадь трапеции.

Коэффициент подобия указанных треугольников равен ${\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$ .

Пусть K — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD и S_BKC = S₁, S_AKD = S₂. Из подобия треугольников BKC и DKA следует, что

$\displaystyle {\frac{CK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$ ,

поэтому

S_ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ ^.S₁.

Аналогично

S_DKC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ ^.S₁.

Следовательно,

S_ABCD = S₁ + S₂ + 2S₁^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ = ( $\displaystyle \sqrt{S}$ ₁ + $\displaystyle \sqrt{S}$ ₂)².

$\displaystyle {\frac{CK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$ ,

поэтому

S_ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ ^.S₁.

Аналогично

S_DKC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ ^.S₁.

Следовательно,

S_ABCD = S₁ + S₂ + 2S₁^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ = ( $\displaystyle \sqrt{S}$ ₁ + $\displaystyle \sqrt{S}$ ₂)².

$\displaystyle {\frac{CK}{AK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}}}$ ,

поэтому

S_ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ ^.S₁.

Аналогично

S_DKC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ ^.S₁.

Следовательно,

S_ABCD = S₁ + S₂ + 2S₁^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}}$ = ( $\displaystyle \sqrt{S}$ ₁ + $\displaystyle \sqrt{S}$ ₂)².

( $\sqrt{S}$ ₁ + $\sqrt{S}$ ₂)².


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3027