Задача 54977

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC, B₁ – середина стороны AC. Отложим на продолжении медианы BB₁ за точку B₁ отрезок  B₁K = B₁M .  Поскольку AMCK – параллелограмм,  KC = AM.  Поэтому стороны треугольника MCK равны ⅔ сторон треугольника, составленного из медиан треугольника ABC. Следовательно, искомый треугольник подобен треугольнику MCK с коэффициентом 1,5, а его площадь равна  2,25S_MCK = 2,25·2·^S/₆ = ^3S/₄.

Ответ

^3S/₄.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3033