Задача 54984

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E – точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а большее основание AD – в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причём  EF : FC = EP : EQ = 1 : 3.  Найдите площадь треугольника EPF.

Подсказка

P и Q – середины сторон данной трапеции.

Решение

  Из замечательного свойства трапеции следует, что P и Q – середины оснований BC и AD.
  Из подобия треугольников BEC и AED следует, что  S_BEC = ¹/₉ S_AED.
  Поэтому  S_BEC = ¹/₈ S_ABCD = ¾.  Следовательно,  S_EPF = ¼ S_EPC = ¼·½ S_BEC = ³/₃₂.

Ответ

³/₃₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3040