Задача 54992

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что площади треугольников ABP, BCP и ACP равны. Докажите, что P — точка пересечения медиан треугольника.

Подсказка

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек B и C на прямую AP, равны.

Решение

Треугольники ABP и ACP имеют общую сторону AP и равновелики. Поэтому перпендикуляры BM и CN, опущенные из точек B и C на прямую AP, равны. Следовательно, прямоугольные треугольники BMK и CNK (K — точка пересечения прямых AP и BC) равны. Поэтому прямая AP проходит через середину стороны BC. Аналогично докажем, что точка P лежит на двух других медианах.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3048