Задача 54994

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Подсказка

Площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника.

Решение

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD с диагоналями AC = BD. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что

MN = KL = AC, ML = KN = DB.

Значит, четырёхугольник MNKL — ромб Поэтому

S_MNKL = MK ^. NL,

S_ABCD = 2S_MNKL = 2 ^. MK ^. NL = MK ^. NL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3050