Информация о задаче

Задача 55004

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Удвоение медианы	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Докажите, что площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника, составляет ${\frac{3}{4}}$ площади данного треугольника.

Решение

Пусть B₁ — середина стороны AC треугольника ABC, M — точка пересечения его медиан. На продолжении медианы BB₁ за точку B₁ отложим отрезок B₁K, равный MB₁. Тогда AMCK — параллелограмм, CK = AM.

Стороны треугольника KMC составляют ${\frac{2}{3}}$ соответствующих медиан треугольника ABC. Поэтому треугольник KMC подобен треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC. Тогда площадь треугольника KMC составляет ${\frac{4}{9}}$ площади треугольника со сторонами 3, 4, 5, т.е. ${\frac{4}{9}}$ ^.6 = ${\frac{8}{3}}$ . Следовательно,

S_ABC = 6S_B₁MC = 6^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_KMC = 8.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3060