Задача 55022

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции MPQF основания  MF = 24,  PQ = 4.  Высота трапеции равна 5. Точка N делит боковую сторону на отрезки MN и NP, причём  MN = 3NP.
Найдите площадь треугольника NQF.

Подсказка

Продолжите FN до пересечения с прямой QP и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники.

Решение

  Продолжим отрезок FN до пересечения с прямой QP в точке A. Из подобия треугольников APN и FMN находим, что AN : NF = PN : NM = 1 : 3,
AP = ¹/₃ MF = 8.
  Значит,  AQ = AP + PQ = 12,  S_AQF = ½ AQ·5 = 30.
  Следовательно,  S_NQF = ^FN/_AF·S_AQF = ¾·30 = ⁴⁵/₂.

Ответ

22,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3078