Задача 55024

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высота трапеции ABCD равна 7, основания AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении  AO : OC = 3 : 2.  Найдите площадь треугольника OEC.

Подсказка

S_OEC = ^CE/_CD·^CO/_CA S_ACD.

Решение

  Продолжим отрезок BE до пересечения с прямой AD в точке M. Из подобия треугольников BOC и MOA следует, что  BC : AM = CO : OA.  Отсюда
AM = BC·^OA/_OC = 9,  DM = AM – AD = 1.
  Поэтому коэффициент подобия треугольников BCE и MDE равен  ^BC/_DM = 6.  Значит,  ^CE/_DE = 6,  ^CE/_CD = ⁶/₇.
  Следовательно,  S_OEC = ⁶/₇·²/₅ S_ACD = ⁶/₃₅·8·7 = ⁴⁸/₅.

Ответ

9,6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3080