Информация о задаче

Задача 55026

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции равна 3, основания равны 1 и 2. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.

Подсказка

Выразите площадь данной трапеции через площадь треугольника, прилежащего к одному из оснований трапеции.

Решение

Пусть AD и BC — основания трапеции ABCD, AD = 2, BC = 1, M — точка пересечения диагоналей AC и BD. Обозначим S_BMC = S. Тогда из подобия треугольников BMC и DMA (коэффициент подобия равен ${\frac{1}{2}}$ ) следует, что S_DMA = 4S, а т.к. ${\frac{CM}{MA}}$ = ${\frac{BM}{MD}}$ = ${\frac{1}{2}}$ , то

S_CMD = S_BMA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_DMA = 2S.

Следовательно, S + 4S + 2S + 2S = 3. Отсюда находим, что S = ${\frac{1}{3}}$ .

Ответ

${\frac{1}{3}}$ , ${\frac{2}{3}}$ , ${\frac{2}{3}}$ , ${\frac{4}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3082