Информация о задаче

Задача 55047

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD, где $\angle$ BAD равен 60^o, AB = 2, AD = 5, биссектриса угла BAD пересекается с биссектрисой угла ABC в точке K, с биссектрисой угла CDA — в точке L, а биссектриса угла BCD пересекается с биссектрисой угла CDA в точке M, с биссектрисой угла ABC — в точке N. Найдите отношение площади четырёхугольника KLMN к площади параллелограмма ABCD.

Подсказка

KLMN — прямоугольник.

Решение

Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен 90^o, то KLMN — прямоугольник.

Пусть P — точка пересечения прямых AK и BC. Тогда

$\displaystyle \angle$ BPA = $\displaystyle \angle$ DАP = $\displaystyle \angle$ BAP.

Поэтому треугольник ABP — равнобедренный,

BP = AB = 2, PC = BC - BP = 3.

Если F — проекция точки P на CM, то

LM = PF = PC sin $\displaystyle \angle$ PCF = 3 sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Аналогично MN = ${\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ . Следовательно,

S_KLMN = LM^.MN = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{3}}{4}}$ ,

а т.к.

S_ABCD = AB^.AD sin $\displaystyle \angle$ BAD = 2^.5^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 5 $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

то

$\displaystyle {\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{5\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{20}}$ .

Ответ

${\frac{9}{20}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3103