Информация о задаче

Задача 55048

Темы:	[	Средняя линия трапеции	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD, где $\angle$ BAD = 45^o, $\angle$ CDA = 60^o, основание AD равно 15, основание BC равно 13, перпендикуляр к стороне AB, восстановленный из точки M, являющейся серединой стороны AB, пересекается с перпендикуляром к стороне CD, восстановленным из точки N, являющейся серединой стороны CD, в некоторой точке L. Найдите отношение площади треугольника MNL к площади трапеции ABCD.

Подсказка

Найдите высоты трапеции и треугольника MNL.

Решение

Пусть BP = CQ = h — высота трапеции ABCD, а LT = h₁ — высота треугольника MNL. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNL}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{MN\cdot h_{1}}{(AD + BC)h}}$ = $\displaystyle {\frac{14h_{1}}{28h}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{1}}{2h}}$ .

Из прямоугольных треугольников APB и DQC находим, что

AP = h, DQ = $\displaystyle {\frac{h}{\sqrt{3}}}$ .

Поскольку AP + QD = AD - BC = 15 - 13 = 2, то h + ${\frac{h}{\sqrt{3}}}$ = 2. Поэтому h = ${\frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$ .

Поскольку $\angle$ LMN = 45^o и $\angle$ MNL = 30^o, то

MT = TL = h₁, TN = TL $\displaystyle \sqrt{3}$ = h₁ $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поскольку MT + TN = MN, то h₁ + h₁ $\sqrt{3}$ = 14. Отсюда находим, что h₁ = ${\frac{14}{1 + \sqrt{3}}}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNL}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{1}}{2h}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{14}{1+\sqrt{3}}}{\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}}}$ = $\displaystyle {\frac{7\sqrt{3}}{6}}$ .

Ответ

${\frac{7\sqrt{3}}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3104