Информация о задаче

Задача 55051

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD отрезки AB и CD являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника BCE, если AB = 30, DC = 24, AD = 3 и $\angle$ DAB = 60^o.

Подсказка

Найдите, какую часть площадь треугольника BCE составляет от площади треугольника DCB.

Решение

Пусть DK — высота данной трапеции. Из прямоугольного треугольника AKD находим, что

DK = AD sin $\displaystyle \angle$ DAB = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ .

Высота треугольника DCB, проведённая из вершины B, также равна ${\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ . Поэтому его площадь равна ${\frac{3\sqrt{3}\cdot DC}{4}}$ = 18 $\sqrt{3}$ .

Из подобия треугольников AEB и CED следует, что

$\displaystyle {\frac{BE}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{DC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{30}{24}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Поэтому ${\frac{BE}{BD}}$ = ${\frac{5}{9}}$ . Следовательно,

S_BCE = $\displaystyle {\frac{BE}{BD}}$ ^.S_DCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$ ^.18 $\displaystyle \sqrt{3}$ = 10 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

10 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3107