Задача 55052

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD отрезки AB и CD являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке K.
Найдите площадь треугольника AKD, если  AB = 27,  DC = 18,  AD = 3,  BC = 6.

Подсказка

Через вершину C проведите прямую, параллельную AD. Найдите высоту образовавшегося треугольника. Определите, какую часть составляет площадь треугольника AKD от площади треугольника ADB.

Решение

  Проведём через точку C прямую, параллельную AD, до пересечения с основанием AB в точке P. Тогда в треугольнике PCB   CP = AD = 3,  BC = 6,
BP = AB – DC = 9.
  Этот треугольник прямоугольный, так как  BP² = CP² + BC².  Его высоту CQ найдём из равенства  PB·CQ = CP·BC,  CQ = 2.
  Высота треугольника ADB также равна 2. Значит,   S_ADB = 27.
  Из подобия треугольников DKC и BKA следует, что   DK : KB = 2 : 3.
  Поэтому  DK : DB = 2 : 5,  S_AKD = ²/₅ S_ADB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3108