Задача 55053

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K, причём  AK : BK = 1 : 2,  а на стороне BC взята точка L, причём  CL : BL = 2 : 1.  Пусть Q – точка пересечения прямых AL и CK. Найдите площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1.

Подсказка

Через вершину C проведите прямую, параллельную стороне AB.

Решение

  Найдём  CQ : KQ.

  Первый способ. Продолжим AL до пересечения в точке P с прямой, проходящей через вершину C параллельно AB. Из подобия треугольников PLC и ALB следует, что  PC = 2AB,  а из подобия треугольников PQC и AQK находим, что  CQ : KQ = PC : AK = 6 : 1.

  Второй способ. Проведём через точку K прямую, параллельную AL, до пересечения в точке M со стороной BC. По теореме Фалеса  LM = ¹/₃ LB = ¹/₆ CL.  Снова по теореме Фалеса  CQ : KQ = CL : LM = 6 : 1.

  Следовательно,  S_ABC = ³/₂ S_KBC = ³/₂·⁷/₆ = ⁷/₄.

Ответ

1,75.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3109