Задача 55054

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении  AK : BK = 2 : 3,  а на стороне AC взята точка L, делящая AC в отношении  AL: LC = 5 : 3.  Точка Q пересечения прямых CK и BL, отстоит от прямой AB на расстоянии 1,5. Найдите сторону AB.

Решение

  Проведём через точку K прямую, параллельную BL, до пересечения в точке M со стороной AC. По теореме Фалеса  LM = ³/₅ AL = CL.  Значит,  CQ = KQ.
  Поэтому высота CH треугольника ABC в два раза больше расстояния от Q до AB, то есть равна 3, а  AB = ^2S_ABC/_CH = 4.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3110