Задача 55056

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне AB взята точка L, причём  AL = 1,  BL = 3,  а на стороне BC взята точка K, делящая эту сторону в отношении
BK : KC = 3 : 2.  Точка Q пересечения прямых AK и CL отстоит от прямой BC на расстоянии 1,5. Вычислите синус угла B.

Решение

  Проведём через точку L прямую, параллельную CL, до пересечения со стороной BC в точке P. По теореме Фалеса  PK = ½ BK = ³/₈ CK,  CQ = ⁸/₁₁ CL.
  Пусть M и N – проекции точек Q и L на BC. Тогда из подобия треугольников QMC и LNK следует, что  LN = ¹¹/₈·³/₂ = ³³/₁₆.
  Следовательно,  sin∠B = ^LN/_BL = ¹¹/₁₆.

Ответ

¹¹/₁₆.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3112