Информация о задаче

Задача 55079

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая CE пересекает сторону AB треугольника ABC в точке E, а прямая BD пересекает сторону AC в точке D. Прямые CE и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOE, BOC, COD равны соответственно 15, 30, 24. Найдите угол DOE, если известно, что OE = 4, OD = 4 $\sqrt{3}$ , а угол BOE — острый.

Подсказка

OC = 2OE.

Решение

Поскольку

$\displaystyle {\frac{OC}{OE}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{BOE}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{30}{15}}$ = 2,

то OC = 2OE = 8. Тогда

S_COD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OD^.OC sin $\displaystyle \angle$ DOC = 16 $\displaystyle \sqrt{3}$ sin $\displaystyle \angle$ BOE = 24.

Отсюда находим, что sin $\angle$ BOE = ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , а т.к. угол BOE — острый, то $\angle$ BOE = 60^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ DOE = 180^o - $\displaystyle \angle$ BOE = 120^o.

Ответ

120^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3135