Информация о задаче

Задача 55087

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На продолжении стороны AB за точку B треугольника ABC отложен отрезок AD, причём AD : AB = $\alpha$ . На продолжении медианы BE отложен отрезок EF, причём EF : BE = $\beta$ . Найдите отношение площадей треугольников BDF и ABC.

Подсказка

Найдите отношение высоты FP треугольника BDF к высоте CM треугольника ABC.

Решение

Пусть P, K и M — проекции точек F, E и C на прямую AB. Тогда

$\displaystyle {\frac{PF}{EK}}$ = $\displaystyle {\frac{BF}{BE}}$ = $\displaystyle \beta$ + 1, $\displaystyle {\frac{EK}{CM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Следовательно,

S_BDF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.PF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \alpha$ - 1)AB^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \beta$ + 1)CM =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \alpha$ - 1)( $\displaystyle \beta$ + 1)^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \alpha$ - 1)( $\displaystyle \beta$ + 1)S_ABC.

Ответ

${\frac{1}{2}}$ ( $\alpha$ - 1)( $\beta$ + 1).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3143