Задача 55097

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника ABC.

Подсказка

Треугольник ABD – равнобедренный.

Решение

  Пусть P – точка пересечения отрезков BE и AD. Треугольник ABD – равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому
AP = PD = 2,  BC = 2BD = 2AB.
  По свойству биссектрисы треугольника  AC = 3AE.
  Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K – точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда  BK = AC = 3AE.
  Из подобия треугольников APE и KPB следует, что  PE : BP = 1 : 3.
  Поэтому  PE = 1,  BP = 3.  Следовательно,  AB² = AP² + BP² = 13,  AE² = AP² + EP² = 5,  AC = 3AE.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3153