Задача 55106

Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Середина одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединена с концами другой диагонали. Докажите, что полученная ломаная делит четырёхугольник на две равновеликие части.

Подсказка

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Решение

Пусть M — середина диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD. Тогда BM и DM — медианы треугольников ABC и ADC соответственно. Поэтому

S_ABM = S_BCM, S_ADM = S_CDM.

Следовательно,

S_ABMD = S_ABM + S_ADM = S_BCM + S_CDM = S_CBMD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3162