Задача 55108

Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка, расположенная на отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, соединена со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

Подсказка

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Решение

Пусть M и N — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, P — точка отрезка MN. Тогда PM и PN -- медианы треугольников PBC и PAD соответственно. Поэтому

S_PBM = S_PCM, S_PAN = S_PDN.

Трапеции ABMN и NMCD имеют соответственно равные основания и высоты. Поэтому S_ABMN = S_NMCD. Следовательно,

S_PAB = S_ABMN - S_PBM - S_PAN = S_NMCD - S_PCM - S_PDN = S_PCD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3164