Информация о задаче

Задача 55111

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и AED, если AB = 6, AC = 5, CB = 7.

Подсказка

С помощью теоремы Пифагора составьте уравнения для AE и BD.

Решение

Обозначим AE = x, BD = y. Тогда

BE = 6 - x, CD = 7 - y, 25 - x² = 49 - (6 - x)², 36 - y² = 25 - (7 - y)².

Из этих уравнений находим, что x = 1, y = ${\frac{30}{7}}$ .

Пусть DP — высота треугольника ADE. Из подобия треугольников BPD и BEC следует, что

DP = $\displaystyle {\frac{EC\cdot BD}{BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{30}{49}}$ EC.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta AED}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\cdot EC}{AE\cdot DP}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\cdot EC}{\frac{30}{49}EC}}$ = 6^. $\displaystyle {\textstyle\frac{49}{30}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{49}{5}}$ .

Ответ

${\frac{49}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3167