Информация о задаче

Задача 55118

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AB и CD — две непересекающиеся хорды, причём $\cup$ AB = 120^o и $\cup$ CD = 90^o; M — точка пересечения хорд AD и BC. Найдите площади треугольников AMB и CMD, если сумма этих площадей равна 100.

Подсказка

Выразите стороны AB и CD подобных треугольников AMB и CMD через радиус окружности.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle \angle$ DAB = $\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle \angle$ MCD,

то треугольники AMB и CMD подобны. Если R — радиус данной окружности, то

AB = 2R sin 60^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ , CD = 2R sin 45^o = R $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поэтому коэффициент подобия равен

$\displaystyle {\frac{AB}{CD}}$ = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{R\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMB}}{S_{\Delta CMD}}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Значит, S_AMB = 60 и S_CMD = 40.

Ответ

60 и 40.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3193