Задача 55129

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если два выпуклых четырёхугольника расположены так, что середины их сторон совпадают, то их площади равны.

Подсказка

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника вдвое больше площади четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Решение

Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ — выпуклые четырёхугольники, M — середина сторон AB и A₁B₁, N — середина сторон BC и B₁C₁, K — середина сторон CD и C₁D₁, L — середина сторон AD и A₁D₁. Тогда площадь каждого из указанных четырёхугольников равна удвоенной площади параллелограмма MNKL. Докажем это, например, для четырёхугольника ABCD. Действительно,

S_ALM = S_ABD, S_CKN = S_CBD.

Поэтому

S_ALM + S_CKN = (S_ABD + S_CBD) = S_ABCD.

Аналогично

S_DKL + S_BMN = S_ABCD.

Следовательно,

S_MNKL = S_ABCD - (S_ALM + S_CKN) - (S_DKL + S_BMN) =

= S_ABCD - S_ABCD = S_ABCD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3204