Задача 55135

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

Подсказка

Докажите, что каждый из указанных отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах, делятся на 8 равных частей.

Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD (рис.1). Тогда четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Его диагонали MK и NL делятся точкой пересечения Q пополам. Рассуждая аналогично докажем, что каждый из отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах исходного четырёхугольника, делится на 8 равных частей.

Осталось доказать, что утверждение задачи верно для выпуклого четырёхугольника, все стороны которого разделены пополам (рис.2). Для этого достаточно заметить, что треугольники с общей вершиной O и попарно равными основаниями попарно равновелики.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3210