ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55137
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Охитин С.

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

а) Докажите что три красных четырёхугольника на этом рисунке также равновелики.

б) Найдите площадь одного четырёхугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.


Решение

а) Введём обозначения, как показано на рисунке 1. Заметим, что треугольники AA0C0 и AA0C1 равновелики (каждый из них составлен из треугольника AA0B0 и одного из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание AA0, поэтому их вершины C0 и C1 равноудалены от прямой AA0, т.е. прямые AA0 и C1C0 параллельны. Аналогично BB0 || A1A0 и CC0 || B1B0.

Рассмотрим трапецию AA0C0C1 (рис.2). Её диагонали пересекаются в точке B0, а продолжения боковых сторон — в точке B. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины D и E её оснований AA0 и C1C0, а поскольку эта прямая параллельна A1A0, точка B0 — середина отрезка A1A. Поэтому S(AB0C) = S(B0A1C). Следовательно, площади четырёхугольников AB0A0B1 и CA0C0A1 равны. Аналогично докажем, что и третий красный четырёхугольник BC0B0C1 имеет такую же площадь.

б) Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади s, выразим двумя способами отношение $ {\frac{BC_{1}}{C_{1}A}}$:

$\displaystyle {\frac{BC_{1}}{C_{1}A}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta CBC_{1}}}{S_{\Delta CC_{1}A}}}$ = $\displaystyle {\frac{2s+2}{s+2}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta B_{0}BC_{1}}}{S_{\Delta B_{0}CA_{1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{s}{2}}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{s}{2}}$.

Итак, s удовлетворяет уравнению

s2 - 2s - 4 = 0,

из которого находим, что s = 1 + $ \sqrt{5}$.


Ответ

1 + $ \sqrt{5}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3212

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .