ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55138
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Старк М.В.

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD выбираются произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E и F.


Подсказка

Докажите, что диагонали образовавшегося четырёхугольника пересекаются в их внутренней точке.


Решение

Пусть L, M, N, K — середины отрезков BF, CE, AF и DE соответственно. Поскольку LN — средняя линия треугольника AFB, то отрезок LN пересекает отрезок EF в его середине O. Аналогично KM пересекает отрезок EF в той же точке O. Поэтому отрезки LN и KM пересекаются в их внутренней точке O. Следовательно, LMNK — выпуклый четырёхугольник (возможно, вырождающийся в треугольник или отрезок).

Пусть угол между прямыми AB и CD равен $ \alpha$. Тогда

SLMNK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$LN . MK sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$AB . CD sin$\displaystyle \alpha$,

т.е. площадь четырёхугольника LMNK не зависит от выбора точек E и F.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3213

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .