Информация о задаче

Задача 55140

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
Темы:	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD ( BC || AD) или на её сторонах, если известно, что S_XAB = S_XCD.

Подсказка

Пусть S_XAB = S_XCD. Методом "от противного" докажите, что точка X лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.

Решение

Пусть P и Q — середины оснований BC и AD трапеции ABCD, h — высота трапеции (рис.1). Если точка X принадлежит отрезку PQ, то XP и XQ — медианы треугольников BXC и AXD, поэтому

S_XBP = S_XCP, S_XAQ = S_XDQ.

Кроме того,

S_ABPQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BP + AQ)h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (CP + DQ)h = S_CPQD.

Следовательно, S_XAB = S_XCD.

Пусть теперь X — точка внутри трапеции ABCD, для которой S_XAB = S_XCD (рис.2). Предположим, что X не лежит на прямой PQ. Поскольку

S_XBP = S_XCP, S_XAQ = S_XDQ,

то

S_ABPXQ = S_CPXQD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCD.

Если точки X и C лежат по одну сторону от прямой PQ, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCD = S_ABPQ + S_PXQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCD + S_PXQ,

что невозможно, если точка X не лежит на прямой PQ.

Аналогично для случая, когда точки X и C лежат по разные стороны от прямой PQ.

Ответ

Отрезок, соединяющий середины оснований.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3215