Задача 55141

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что треугольники ACE и BDF равновелики.

Подсказка

Достройте данный шестиугольник до треугольника, продолжив его стороны, и выразите площади треугольников ACE и BDF через площадь полученного треугольника и отношения, в которых вершины шестиугольника делят стороны полученного треугольника.

Решение

Пусть прямые AB и EF пересекаются в точке M, прямые AB и CD -- в точке N, прямые CD и EF — в точке K. Обозначим

= x,  = y,  = z.

Тогда

S_AME = x(1 - z)S_MNK, S_ANC = y(1 - x)S_MNK, S_CKE = z(1 - y)S_MNK.

Поэтому

S_ACE = S_MNK - S_AME - S_ANC - S_CKE =

= (1 - x(1 - z) - y(1 - x) - z(1 - y))S_MNK =

= (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S_MNK.

Учитывая, что

= = x,  = = y,  = = z

(что вытекает из параллельности противоположных сторон данного шестиугольника), аналогично получим, что

S_BDF = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S_MNK.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3216