Информация о задаче

Задача 55150

Темы:	[	Неравенство треугольника	]
Темы:	[	Неравенства с медианами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Подсказка

Отложите на продолжении медианы AM за точку M отрезок, равный AM.

Решение

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

2AM = AK < AB + BK = AB + AC.

Отсюда следует, что

AM < $\displaystyle {\frac{AB + AC}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3504