Задача 55150

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Подсказка

Отложите на продолжении медианы AM за точку M отрезок, равный AM.

Решение

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

2AM = AK < AB + BK = AB + AC.

Отсюда следует, что

AM < .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3504